物流中心选址和布局规划的两阶段双层规划模型及解法研究
物流中心选址和布局规划的两阶段双层规划模型及解法研究
杨 莉（天津科技大学）
摘 要：本文研究了两阶段双层物流中心选址和布局规划方法。通过两阶段的选址模型，考虑了决策者和用户两方面的要求，综合运用定性和定量的方法，可使其选址在准确性上相互补充，结果更为客观科学。
关键字：物流中心 两阶段 双层模型
1引言
物流中心选址是指在一个具有若干供应网点及若干需求网点的经济区域内，选一个地址设置物流中心的规划过程。较佳的物流中心选址方案是使商品通过物流中心的汇集、中转、分发，直至输送到需求网点的全过程的效益最好。通常，物流中心拥有建筑物、构筑物以及设备，如果选址不当，将产生极大的负面影响并付出代价。因而，在物流中心的选址规划中，应对物流中心的选址问题进行全面的、系统的、综合的分析。
2物流中心选址和布局规划程序
由于在物流中心选址过程中需考虑的因素较多，本文研究了两段式物流中心选址和布局规划程序。第一阶段为因素分析阶段：首先分析物流中心选址的影响因素，在分析完影响因素后，提出物流中心需要解决的问题，即选址要求；上述分析后，对于连续型选址和布局规划问题就可进入下一段过程，因其选址地点的任意性，不需要预选地址；而对于离散型选址问题，则需要预先确定待选地点。因此，对于离散型选址和布局规划方法，就需要预选地址的过程，本文主要研究离散型物流中心选址和布局规划方法。
第二阶段为建模、求解选址和布局规划优化确定阶段。根据选址和布局规划要求和影响因素，建立相应的数学模型并求解，然后对选址方案进行评价。对于第一阶段，本文采用基于离散选址的综合因素评价方法，来确定预选地址。对于第二阶段的物流中心选址和布局规划的优化确定，本文采用基于竞争的物流中心选址的双层规划模型。
3预选场址和布局规划方案的确定和排序
在预选地址和布局规划方案所遵循的原则和基础数据的基础上，根据决策者的经验判断可初步确定若干个物流中心的预选场址和布局规划方案。
前文提到物流中心选址的影响因素可分为成本因素和非成本因素。成本因素可以定量表示，并用数值方法进行分析、计算。而非成本因素则多为定性因素，往往无法同定量因素一样用数值表示，而是采用描述性语言表示，非成本因素的值通常用语言表示：“很低”、“中等”、“高”、“相当高”、“非常高”等。因此，定性因素无法同定量因素进行数值比较。为了在物流中心选址和布局规划中综合考虑定性和定量两种因素，本文采用基于模糊数学的综合因素模糊决策方法确定预选场址和布局规划方案进行排序。
物流中心选址和布局规划的综合因素模糊决策方法的结构如下：首先，给出综合因素模糊决策方法的步骤；然后提出综合因素模糊决策计算方法，包括确定评价指标权重，得出标准模糊决策矩阵，建立模糊偏好关系矩阵，逐步确定所有预选场址和布局规划方案的排序。由于篇幅有限，在这里就不做详细叙述。
上述进行的物流中心预选场址和布局方案的确定并进行了预选场址和布局方案的预排序，虽然对预选场址和布局方案进行了预排序，但是在考虑成本因素和非成本因素的基础上，根据决策者对指标重要性的评价对备选方案所进行的模糊排序，存有一定的主观性，在某种程度上不能反映成本因素在物流中心选址因素中的重要性，也没能反映各级用户对物流中心的选择行为，所以需要进一步对物流中心选址和布局规划方案进行确定。
4考虑竞争的物流中心双层选址和规划模型
经过上一阶段的预排序过程，得出预选物流中心之间的优劣次序，为进入第二阶段的优化确定提供了依据，在此阶段，经过多年发展已经形成了多种选址和布局模型。本文从决策者和用户的角度综合考虑，研究了物流中心选址和布局规划的双层规划模型。
在本文中，上层规划可以描述为决策部门在允许固定投资范围内确定最佳的新选物流中心的场址以使总成本最小（包括固定成本和变动成本）。而下层规划模型则描述了在多个物流中心存在的条件下，客户需求量在不同物流中心之间的分配模式，它的目标是使每个客户的费用最低。具体模型如下：
令 为所有物流中心场址的集合，其中 为已有物流中心的集合， 为新增候选物流中心集合， 为所有客户的集合。
本模型的上层模型由传统的离散选址和布局规划模型转化得到：
（1）
约束条件：
（2） （3）
式中：
——第 个客户由 地点的物流中心提供服务的单位运量的广义费用（ ， ）；
——第 个客户在 地点的物流中心的得到满足的需求量；
——在 （ ）地建物流中心的固定投资；
——0-1变量，在 （ ）地建物流中心时，此值为1，否则为0。
上层目标函数是从决策者的角度出发使总的运输费用和固定投资最小。第一个约束保证至少要建一个新的物流中心；第二个约束为变量的0-1约束。上层模型为0-1整数规划问题，对给定的 可用分枝定界法求解。值得指出的是上层模型中 由下层规划求得。
下层规划为：
（4）
约束条件：
（5）
（6）
， （7）
式中： --客户点（ ）的总需求量； —一充分大的数。
下层规划表示客户选择最优的物流中心，即各个用户在各物流中心间分配需求量，以使其总费用最小。第一个约束保证物流中心能满足所有客户的需求量；第二个约束保证客户需求量只在要建的物流中心处分配，不建的场址分配需求量为零；最后一个约束为变量的非负约束。同时目标函数的Hessian矩阵是正定的，因此下层模型有唯一解。同时假定每个物流中心的容量都能满足需求，也就是不考虑物流中心的容量限制。
5双层规划模型的改进Benders解法
本论文以广义Benders分解算法为基础，设计了求解这类问题的新算法。
按一般求解双层规划模型的思路，对于给定的上层离散变量 ，解下层问题，同时找到变量 和 的关系，将 表示为 的函数，代入上层目标函数中，消去上层规划中所含的变量 ,将上层简化为只含 的形式来求解。但对于本文的离散问题很难找到二者的关系，我们知道上层问题的目标函数为系统最优，而下层目标为用户最优，且其函数形式有一定的关系。这样我们可以对给定的 值求解完下层问题后，用下层的目标函数和部分含有 变量的约束（如第二个约束）来表示上层目标函数（这时 为已知），上层规划就只含 变量了，可用一般方法求解。也就是说尽管用 表示 较困难，我们可以用 表示上层问题中含有 的目标函数。在可分离假设条件下，下层规划可变型为：
（8）约束条件：
（9）
, （10）
, （11）
我们定义 ，根据定义Benders分解算法中支撑函数的定义，第n 次迭代时，下层规划的支撑函数可写为：
（12）
＝ （13）
式中： ——下层规划第 次迭代时的不等式约束乘子。
对上层规划给定的 , 可以表示为第n次迭代时下层规划的最优值。为了简化计算，可将式（12）右边写为：
（14）
根据系统最优和用户最优的关系，可以得出上下层目标函数的关系，这样我们可以将下层目标函数的最优值通过转换成上层目标函数的最优值。
（15）
由有关双层规划理论的研究，第n次迭代时上层目标函数的支撑函数 可以表示为：
（16）
=
= （17）
根据前面的理论可以得知（16）中只含 变量。
令
（18）
可将 看作上层规划问题的上界。
那么主问题可写为：
（19）
约束条件：
（20）
; （21）
式中： ——上层规划问题的下界；
——迭代次数。
具体的求解算法步骤如下：
第一步：给定初始值 ，令N=1。对给定的 ，采用增广矩阵的F-W算法求解下层规划问题得 ， 及支撑函数 ， 。另当前上界为 ,迭代精确度 。
第二步：求解松弛总问题
约束条件： ，
令 为上述松弛问题的最优解。 为上层规划问题的下界，即当前下界 。如果 ,终止。
第三步：对 ，求解下层规划问题，我们得到下层规划的最优解、最优乘子和支撑函数分别为 ,上层规划的支撑函数为 。更新当前的上界 ,如果 ，则终止；否则，令 ， 。转第二步。
由式（16）和（18）可知，上层规划的目标函数值一定小于等于上界 ，而根据式（19）可知，它的目标值又一定大于等于下界 ，经过反复迭代，当上下界逐渐逼近时，算法终止，最后收敛到双层规划的最优解。
此模型的求解算法只适于上下层目标函数有特殊关系的情况，对于一般的双层规划还需要进一步改进算法设计过程。
6结论
本文虽采用两阶段的规划程序进行选址和布局规划，但值得指出的是在本文的第二阶段的双层规划模型中，并未对各物流中心的容量进行控制，且在实际情况中，各个物流中心的需求量都不是随机分配的，所以第二阶段的双层规划模型还有待进一步研究，使得模型更加贴近实际。
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